Problém dvou těles

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Problém dvou těles je jedna ze základních úloh nebeské mechaniky. Cílem je určení pohybu dvou těles, která jsou vzájemně gravitačně vázána podle Newtonovy teorie gravitace, přičemž se předpokládá, že tělesa jsou dokonale tuhá a sféricky symetrická a lze je aproximovat hmotnými body.

Pohyb takového systému probíhá kolem společného hmotného středu obou těles. Ve speciálním případě, kdy jedno z těles má výrazně menší hmotnost než druhé těleso, lze pohyb (přibližně) popsat jako pohyb jednoho tělesa v centrálním poli druhého (hmotnějšího) tělesa.

Formulace problému

Uvažujme uzavřený systém dvou těles o hmotnostech \(m_1\) a \(m_2\), které se nachází v bodech s polohovými vektory \(\mathbf{r}_1\) a \(\mathbf{r}_2\), a jejichž interakce je popsána potenciálem, který závisí pouze na jejich vzdálenosti \(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|\). Jedná se o systém se 6 stupni volnosti.

Lagrangeovu funkci tohoto systému dvou interagujících částic lze zapsat jako

\(L = \frac{1}{2}m_1\dot{\mathbf{r}_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{\mathbf{r}_2}^2 - U(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|)\),

kde tečkou je označena derivace podle času.

Zavedeme nové souřadnice

\(\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}\)

\(\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\)

Vektor \(\mathbf{R}\) představuje polohový vektor těžiště celé soustavy a \(\mathbf{r}\) určuje relativní polohu bodu 2 vzhledem k bodu 1.

Původní souřadnice lze určit inverzní transformací , tzn.

\(\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{r}\)

\(\mathbf{r_2} = \mathbf{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{r}\)

Použitím těchto vztahů získá Lagrangeova funkce tvar

\(L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2 - U(r)\),

kde \(\mu\) je redukovaná hmotnost.

Souřadnice polohového vektoru \(\mathbf{R}\) jsou cyklické. Zachovává se tedy hybnost těžiště, tzn. \(\frac{\part L}{\part \dot\mathbf{R}} = (m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}\). Samotný polohový vektor těžiště \(\mathbf{R}\) je v takovém případě lineární funkcí času, což znamená, že těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Je tedy vhodné přejít do inerciální soustavy spojené s pohybem těžiště, tzv. těžišťové soustavy, v níž se těžiště nepohybuje a lze ho tedy zanedbat, čímž se redukuje počet stupňů volnosti na 3. V takovém případě zůstává pouze pohyb vzhledem k těžišti, který lze chápat jako studium pohybu jedné částice s redukovanou hmotností \(\mu\) ve vnějším poli \(U(r)\) s lagrangiánem \(L = \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2-U(r)\).

Řešením této úlohy získáme polohový vektor \(\mathbf{r}\), ze kterého lze následně přejít k souřadnicím \(\mathbf{r}_1\) a \(\mathbf{r}_2\).

Pohyb dvou těles s výrazně rozdílnými hmotnostmi

V případě \(m_1>>m_2\) se řešení výrazně zjednoduší. V takovém případě je \(\mu\approx m_2\) a bude tedy platit

\(\mathbf{r}_1 \approx 0\)

\(\mathbf{r}_2 \approx \mathbf{r}\)

Je-li tedy hmotnost prvního tělesa výrazně větší než hmotnost tělesa druhého, pak lze zanedbat vliv druhého tělesa na pohyb tělesa prvního.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 ==Formulace problému==
-Uvažujme [[uzavřený systém]] dvou těles o [[hmotnost|hmotnostech]] <math>m_1</math> a <math>m_2</math>, které se nachází v bodech s [[polohový vektor|polohovými vektory]] <math>\mathbf{r}_1</math> a <math>\mathbf{r}_2</math>, a jejichž interakce je popsána [[potenciál|potenciálem]], který závisí pouze na jejich [[vzdálenost]]i <math>|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|</math>. Jedná se o systém se 6 [[stupeň volnosti|stupni volnosti]].
+Uvažujme [[uzavřený systém]] dvou těles o [[hmotnost|hmotnostech]] <big>\(m_1\)</big> a <big>\(m_2\)</big>, které se nachází v bodech s [[polohový vektor|polohovými vektory]] <big>\(\mathbf{r}_1\)</big> a <big>\(\mathbf{r}_2\)</big>, a jejichž interakce je popsána [[potenciál|potenciálem]], který závisí pouze na jejich [[vzdálenost]]i <big>\(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|\)</big>. Jedná se o systém se 6 [[stupeň volnosti|stupni volnosti]].
 [[Lagrangeova funkce|Lagrangeovu funkci]] tohoto systému dvou interagujících částic lze zapsat jako
-:<math>L = \frac{1}{2}m_1\dot{\mathbf{r}_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{\mathbf{r}_2}^2 - U(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|)</math>,
+:<big>\(L = \frac{1}{2}m_1\dot{\mathbf{r}_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{\mathbf{r}_2}^2 - U(|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|)\)</big>,
 kde tečkou je označena [[derivace]] podle [[čas]]u.
 Zavedeme nové souřadnice
-:<math>\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}</math>
+:<big>\(\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r_2}}{m_1+m_2}\)</big>
-:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1</math>
+:<big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\)</big>
-[[Vektor]] <math>\mathbf{R}</math> představuje [[polohový vektor]] [[těžiště]] celé soustavy a <math>\mathbf{r}</math> určuje relativní [[poloha bodu|polohu bodu]] ''2'' vzhledem k bodu ''1''.
+[[Vektor]] <big>\(\mathbf{R}\)</big> představuje [[polohový vektor]] [[těžiště]] celé soustavy a <big>\(\mathbf{r}\)</big> určuje relativní [[poloha bodu|polohu bodu]] ''2'' vzhledem k bodu ''1''.
 Původní souřadnice lze určit [[inverzní transformace|inverzní transformací]] , tzn.
-:<math>\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{r}</math>
+:<big>\(\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf{r}\)</big>
-:<math>\mathbf{r_2} = \mathbf{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{r}</math>
+:<big>\(\mathbf{r_2} = \mathbf{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf{r}\)</big>
 Použitím těchto vztahů získá Lagrangeova funkce tvar
-:<math>L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2 - U(r)</math>,
+:<big>\(L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2 - U(r)\)</big>,
-kde <math>\mu</math> je [[redukovaná hmotnost]].
+kde <big>\(\mu\)</big> je [[redukovaná hmotnost]].
-[[Souřadnice]] polohového vektoru <math>\mathbf{R}</math> jsou [[cyklická souřadnice|cyklické]]. Zachovává se tedy [[hybnost]] těžiště, tzn. <math>\frac{\part L}{\part \dot\mathbf{R}} = (m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}</math>. Samotný polohový vektor těžiště <math>\mathbf{R}</math> je v takovém případě [[lineární funkce|lineární funkcí]] [[čas]]u, což znamená, že těžiště se pohybuje [[rovnoměrný přímočarý pohyb|rovnoměrně přímočaře]]. Je tedy vhodné přejít do [[inerciální soustava|inerciální soustavy]] spojené s pohybem těžiště, tzv. [[těžišťová soustava|těžišťové soustavy]], v níž se těžiště nepohybuje a lze ho tedy zanedbat, čímž se redukuje počet stupňů volnosti na 3. V takovém případě zůstává pouze pohyb vzhledem k těžišti, který lze chápat jako studium pohybu jedné [[částice]] s [[redukovaná hmotnost|redukovanou hmotností]] <math>\mu</math> ve vnějším poli <math>U(r)</math> s [[lagrangián|lagrangiánem]] <math>L = \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2-U(r)</math>.
+[[Souřadnice]] polohového vektoru <big>\(\mathbf{R}\)</big> jsou [[cyklická souřadnice|cyklické]]. Zachovává se tedy [[hybnost]] těžiště, tzn. <big>\(\frac{\part L}{\part \dot\mathbf{R}} = (m_1+m_2)\dot{\mathbf{R}}\)</big>. Samotný polohový vektor těžiště <big>\(\mathbf{R}\)</big> je v takovém případě [[lineární funkce|lineární funkcí]] [[čas]]u, což znamená, že těžiště se pohybuje [[rovnoměrný přímočarý pohyb|rovnoměrně přímočaře]]. Je tedy vhodné přejít do [[inerciální soustava|inerciální soustavy]] spojené s pohybem těžiště, tzv. [[těžišťová soustava|těžišťové soustavy]], v níž se těžiště nepohybuje a lze ho tedy zanedbat, čímž se redukuje počet stupňů volnosti na 3. V takovém případě zůstává pouze pohyb vzhledem k těžišti, který lze chápat jako studium pohybu jedné [[částice]] s [[redukovaná hmotnost|redukovanou hmotností]] <big>\(\mu\)</big> ve vnějším poli <big>\(U(r)\)</big> s [[lagrangián|lagrangiánem]] <big>\(L = \frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^2-U(r)\)</big>.
-Řešením této úlohy získáme [[polohový vektor]] <math>\mathbf{r}</math>, ze kterého lze následně přejít k souřadnicím <math>\mathbf{r}_1</math> a <math>\mathbf{r}_2</math>.
+Řešením této úlohy získáme [[polohový vektor]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>, ze kterého lze následně přejít k souřadnicím <big>\(\mathbf{r}_1\)</big> a <big>\(\mathbf{r}_2\)</big>.
 ===Pohyb dvou těles s výrazně rozdílnými hmotnostmi===
-V případě <math>m_1>>m_2</math> se řešení výrazně zjednoduší. V takovém případě je <math>\mu\approx m_2</math> a bude tedy platit
+V případě <big>\(m_1>>m_2\)</big> se řešení výrazně zjednoduší. V takovém případě je <big>\(\mu\approx m_2\)</big> a bude tedy platit
-:<math>\mathbf{r}_1 \approx 0</math>
+:<big>\(\mathbf{r}_1 \approx 0\)</big>
-:<math>\mathbf{r}_2 \approx \mathbf{r}</math>
+:<big>\(\mathbf{r}_2 \approx \mathbf{r}\)</big>
 Je-li tedy hmotnost prvního tělesa výrazně větší než hmotnost tělesa druhého, pak lze zanedbat vliv druhého tělesa na pohyb tělesa prvního.