V pátek 26. dubna 2024 úderem 22 hodiny začíná naše nová
a opravdu velká série soutěží o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte hned zítra soutěžit o lákavé ceny !!

Moment setrvačnosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 7: Řádka 7:
==Výpočet==
==Výpočet==
===Diskrétní rozložení hmoty===
===Diskrétní rozložení hmoty===
-
Při [[otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]] [[soustava hmotných bodů|soustavy hmotných bodů]] kolem nehybné [[osa|osy]] opisují jednotlivé [[hmotný bod|hmotné body]] [[kružnice]], jejichž středy leží na [[osa otáčení|ose otáčení]]. [[Úhlová rychlost]] <math>\omega</math> všech bodů je stejná.  
+
Při [[otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]] [[soustava hmotných bodů|soustavy hmotných bodů]] kolem nehybné [[osa|osy]] opisují jednotlivé [[hmotný bod|hmotné body]] [[kružnice]], jejichž středy leží na [[osa otáčení|ose otáčení]]. [[Úhlová rychlost]] <big>\(\omega</math> všech bodů je stejná.  
-
Celkovou [[kinetická energie|kinetickou energii]] určíme jako součet kinetických energií všech <math>n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.
+
Celkovou [[kinetická energie|kinetickou energii]] určíme jako součet kinetických energií všech <big>\(n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.
-
:<math>E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,
+
:<big>\(E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,
-
kde <math>m_i</math> je hmotnost <math>i</math>-tého hmotného bodu, <math>v_i</math> je velikost jeho rychlosti, <math>r_i</math> je jeho ([[kolmost|kolmá]]) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že [[Rychlost (mechanika)|rychlost]] bodu při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] je přímo úměrná [[vzdálenost]]i bodu od osy otáčení, tzn. <math>v = \omega r</math>.
+
kde <big>\(m_i</math> je hmotnost <big>\(i</math>-tého hmotného bodu, <big>\(v_i</math> je velikost jeho rychlosti, <big>\(r_i</math> je jeho ([[kolmost|kolmá]]) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že [[Rychlost (mechanika)|rychlost]] bodu při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] je přímo úměrná [[vzdálenost]]i bodu od osy otáčení, tzn. <big>\(v = \omega r</math>.
Předchozí vztah lze upravit na tvar
Předchozí vztah lze upravit na tvar
-
:<math>E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,
+
:<big>\(E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,
-
kde veličina <math>J</math> představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem
+
kde veličina <big>\(J</math> představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem
-
:<math>J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>
+
:<big>\(J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>
===Spojité rozložení hmoty===
===Spojité rozložení hmoty===
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
-
:<math>J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,
+
:<big>\(J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,
-
kde [[integrace]] se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti <math>M</math>.
+
kde [[integrace]] se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti <big>\(M</math>.
-
Je-li <math>\rho</math> [[hustota]] tělesa, pak <math>\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V</math>, kde <math>V</math> je [[objem]] tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru
+
Je-li <big>\(\rho</math> [[hustota]] tělesa, pak <big>\(\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V</math>, kde <big>\(V</math> je [[objem]] tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru
-
:<math>J = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V</math>
+
:<big>\(J = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V</math>
-
Integruje se přes [[objem]] celého tělesa <math>V</math>.
+
Integruje se přes [[objem]] celého tělesa <big>\(V</math>.
-
V případě, že je těleso [[homogenita|homogenní]], tzn. <math>\rho = \mbox{konst.}</math>, je možné předchozí vztah zjednodušit
+
V případě, že je těleso [[homogenita|homogenní]], tzn. <big>\(\rho = \mbox{konst.}</math>, je možné předchozí vztah zjednodušit
-
:<math>J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>
+
:<big>\(J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>
==Poloměr setrvačnosti==
==Poloměr setrvačnosti==
-
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa <math>M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti <math>R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.
+
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa <big>\(M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti <big>\(R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.
-
:<math>J = MR^2</math>
+
:<big>\(J = MR^2</math>
-
[[Vzdálenost]] <math>R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá '''poloměr setrvačnosti''' nebo '''gyrační poloměr'''.
+
[[Vzdálenost]] <big>\(R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá '''poloměr setrvačnosti''' nebo '''gyrační poloměr'''.
==Momenty setrvačnosti některých těles==
==Momenty setrvačnosti některých těles==
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
-
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
+
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <big>\(l</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
-
:<math>J = \frac{1}{12}m l^2</math>
+
:<big>\(J = \frac{1}{12}m l^2</math>
-
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
+
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <big>\(l</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
-
:<math>J = \frac{1}{3}m l^2</math>
+
:<big>\(J = \frac{1}{3}m l^2</math>
-
* Moment setrvačnosti [[koule]] o [[poloměr]]u <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem koule.
+
* Moment setrvačnosti [[koule]] o [[poloměr]]u <big>\(r</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k ose procházející středem koule.
-
:<math>J = \frac{2}{5}mr^2</math>
+
:<big>\(J = \frac{2}{5}mr^2</math>
-
* Moment setrvačnosti plného [[válec|válce]] o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k [[osa souměrnosti|ose souměrnosti]].
+
* Moment setrvačnosti plného [[válec|válce]] o poloměru <big>\(r</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k [[osa souměrnosti|ose souměrnosti]].
-
:<math>J = \frac{1}{2}mr^2</math>
+
:<big>\(J = \frac{1}{2}mr^2</math>
-
* Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru <math>r_1</math> a vnějším poloměru <math>r_2</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
+
* Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru <big>\(r_1</math> a vnějším poloměru <big>\(r_2</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
-
:<math>J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)</math>
+
:<big>\(J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)</math>
-
* Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose otáčení.
+
* Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru <big>\(r</math> a hmotnosti <big>\(m</math> vzhledem k ose otáčení.
-
:<math>J = mr^2</math>
+
:<big>\(J = mr^2</math>
==Steinerova věta==
==Steinerova věta==
{{viz též|Steinerova věta}}
{{viz též|Steinerova věta}}
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo [[těžiště]] tělesa lze určit podle [[Steinerova věta|Steinerovy věty]] jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k [[rovnoběžky|rovnoběžné]] ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo [[těžiště]] tělesa lze určit podle [[Steinerova věta|Steinerovy věty]] jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k [[rovnoběžky|rovnoběžné]] ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
-
:<math>J = J_0 + m r_T^2</math>,
+
:<big>\(J = J_0 + m r_T^2</math>,
-
kde <math>J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <math>m</math> je hmotnost tělesa a <math>r_T</math> je [[kolmost|kolmá]] vzdálenost těžiště od osy otáčení.
+
kde <big>\(J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <big>\(m</math> je hmotnost tělesa a <big>\(r_T</math> je [[kolmost|kolmá]] vzdálenost těžiště od osy otáčení.
==Tenzor setrvačnosti==
==Tenzor setrvačnosti==
-
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy <math>S</math> [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <math>\mathbf{\omega}</math>, má [[kinetická energie]] tohoto rotačního pohybu hodnotu
+
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy <big>\(S</math> [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <big>\(\mathbf{\omega}</math>, má [[kinetická energie]] tohoto rotačního pohybu hodnotu
-
:<math>E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,
+
:<big>\(E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,
-
kde <math>J_S</math> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose <math>S</math>, <math>v_i</math> je rychlost <math>i</math>-tého hmotného bodu soustavy, a <math>\mathbf{r}_i</math> je [[polohový vektor]] <math>i</math>-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa <math>S</math>.
+
kde <big>\(J_S</math> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose <big>\(S</math>, <big>\(v_i</math> je rychlost <big>\(i</math>-tého hmotného bodu soustavy, a <big>\(\mathbf{r}_i</math> je [[polohový vektor]] <big>\(i</math>-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa <big>\(S</math>.
-
[[Vektor]] <math>\mathbf{\omega}</math>, který směřuje podél osy <math>S</math> lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> vzhledem k souřadnicovým osám <math>x, y, z</math>. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
+
[[Vektor]] <big>\(\mathbf{\omega}</math>, který směřuje podél osy <big>\(S</math> lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek <big>\(\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> vzhledem k souřadnicovým osám <big>\(x, y, z</math>. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
-
:<math>E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]</math>
+
:<big>\(E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]</math>
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé [[mocnina|mocniny]], dostaneme po úpravě
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé [[mocnina|mocniny]], dostaneme po úpravě
-
:<math>2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i</math>
+
:<big>\(2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i</math>
Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
-
:<math>E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}</math>,
+
:<big>\(E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}</math>,
kde  
kde  
-
:<math>J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i</math>
+
:<big>\(J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i</math>
-
:<math>J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i</math>
+
:<big>\(J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i</math>
-
:<math>J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i</math>
+
:<big>\(J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i</math>
-
jsou momenty setrvačnosti vzhledem k [[souřadnicová osa|souřadnicovým osám]] <math>x, y, z</math> a  
+
jsou momenty setrvačnosti vzhledem k [[souřadnicová osa|souřadnicovým osám]] <big>\(x, y, z</math> a  
-
:<math>D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i</math>
+
:<big>\(D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i</math>
-
:<math>D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i</math>
+
:<big>\(D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i</math>
-
:<math>D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i</math>
+
:<big>\(D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i</math>
jsou '''deviační momenty'''.
jsou '''deviační momenty'''.
Předchozí vztahy platí pro těleso popsané [[soustava hmotných bodů|soustavou hmotných bodů]]. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od [[sumace]] k [[integrace|integraci]] a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme
Předchozí vztahy platí pro těleso popsané [[soustava hmotných bodů|soustavou hmotných bodů]]. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od [[sumace]] k [[integrace|integraci]] a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme
-
:<math>J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m</math>
-
:<math>J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m</math>
-
:<math>J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m</math>
Pro deviační momenty získáme podobně vztahy
Pro deviační momenty získáme podobně vztahy
-
:<math>D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m</math>
-
:<math>D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m</math>
-
:<math>D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m</math>
-
Vektor <math>\mathbf{\omega}</math>, který leží v ose <math>S</math> je možné využít k získání směrových kosinů [[osa rotace|rotační osy]], tzn. <math>\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}</math>, kde <math>\omega</math> je velikost vektoru <math>\mathbf{\omega}</math>. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti <math>J_S</math> vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami <math>x, y, z</math> úhly <math>\alpha, \beta, \gamma</math>
+
Vektor <big>\(\mathbf{\omega}</math>, který leží v ose <big>\(S</math> je možné využít k získání směrových kosinů [[osa rotace|rotační osy]], tzn. <big>\(\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}</math>, kde <big>\(\omega</math> je velikost vektoru <big>\(\mathbf{\omega}</math>. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti <big>\(J_S</math> vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami <big>\(x, y, z</math> úhly <big>\(\alpha, \beta, \gamma</math>
-
:<math>J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta</math>
+
:<big>\(J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta</math>
-
Změní-li se směr osy <math>S</math> vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti <math>J_S</math>. Toto rozložení charakterizuje [[elipsoid setrvačnosti]].
+
Změní-li se směr osy <big>\(S</math> vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti <big>\(J_S</math>. Toto rozložení charakterizuje [[elipsoid setrvačnosti]].
Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. '''tenzoru setrvačnosti''':
Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. '''tenzoru setrvačnosti''':
-
: <math>\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}</math>,
+
: <big>\(\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}</math>,
-
kde symbol <math>\otimes</math> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice|symetrická]] [[čtvercová matice]].
+
kde symbol <big>\(\otimes</math> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice|symetrická]] [[čtvercová matice]].
==Plošný moment setrvačnosti==
==Plošný moment setrvačnosti==
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k [[rovina|rovině]], kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k [[rovina|rovině]], kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.
-
U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme <math>z=0</math>. Hmotnostní element <math>\mathrm{d}m</math> je pak nahrazován [[plocha|plošným]] elementem <math>\mathrm{d}S</math>.
+
U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme <big>\(z=0</math>. Hmotnostní element <big>\(\mathrm{d}m</math> je pak nahrazován [[plocha|plošným]] elementem <big>\(\mathrm{d}S</math>.
-
Plošné momenty setrvačnosti k osám <math>x, y</math> jsou tedy
+
Plošné momenty setrvačnosti k osám <big>\(x, y</math> jsou tedy
-
:<math>J_x = \int_S y^2\mathrm{d}S</math>
+
:<big>\(J_x = \int_S y^2\mathrm{d}S</math>
-
:<math>J_y = \int_S x^2\mathrm{d}S</math>
+
:<big>\(J_y = \int_S x^2\mathrm{d}S</math>
Z deviačních momentů je nenulový pouze  
Z deviačních momentů je nenulový pouze  
-
:<math>D_{xy} = \int_S xy\mathrm{d}S</math>
+
:<big>\(D_{xy} = \int_S xy\mathrm{d}S</math>
Namísto [[elipsoid setrvačnosti|elipsoidu setrvačnosti]] dostáváme '''elipsu setrvačnosti'''.
Namísto [[elipsoid setrvačnosti|elipsoidu setrvačnosti]] dostáváme '''elipsu setrvačnosti'''.
Řádka 120: Řádka 120:
Položíme-li do [[těžiště]] tělesa počátek pravoúhlé [[soustava souřadnic|soustavy souřadnic]], potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně [[kolmost|kolmým]] rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
Položíme-li do [[těžiště]] tělesa počátek pravoúhlé [[soustava souřadnic|soustavy souřadnic]], potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně [[kolmost|kolmým]] rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
-
:<math>J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
-
:<math>J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
-
:<math>J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m</math>
+
:<big>\(J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m</math>
-
Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám <math>x, y, z</math> pak platí
+
Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám <big>\(x, y, z</math> pak platí
-
:<math>J_x = J_{xy} + J_{zx}</math>
+
:<big>\(J_x = J_{xy} + J_{zx}</math>
-
:<math>J_y = J_{xy} + J_{yz}</math>
+
:<big>\(J_y = J_{xy} + J_{yz}</math>
-
:<math>J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>
+
:<big>\(J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>
==Polární moment setrvačnosti==
==Polární moment setrvačnosti==
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. '''polární moment setrvačnosti'''.
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. '''polární moment setrvačnosti'''.
-
Polární moment setrvačnosti části [[rovina|rovinné]] plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou <math>z</math>) je
+
Polární moment setrvačnosti části [[rovina|rovinné]] plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou <big>\(z</math>) je
-
:<math>J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\mathrm{d}S = \int_S r^2\mathrm{d}S</math>
+
:<big>\(J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\mathrm{d}S = \int_S r^2\mathrm{d}S</math>
== Související články ==
== Související články ==

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Obsah

Značení

  • Symbol veličiny: J , někdy také I
  • Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg . m2

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost \(\omega</math> všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech \(n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.

\(E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,

kde \(m_i</math> je hmotnost \(i</math>-tého hmotného bodu, \(v_i</math> je velikost jeho rychlosti, \(r_i</math> je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. \(v = \omega r</math>. Předchozí vztah lze upravit na tvar

\(E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,

kde veličina \(J</math> představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

\(J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

\(J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti \(M</math>.


Je-li \(\rho</math> hustota tělesa, pak \(\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V</math>, kde \(V</math> je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

\(J = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V</math>

Integruje se přes objem celého tělesa \(V</math>.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. \(\rho = \mbox{konst.}</math>, je možné předchozí vztah zjednodušit

\(J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa \(M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti \(R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

\(J = MR^2</math>

Vzdálenost \(R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

  • Moment setrvačnosti tyče délky \(l</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
\(J = \frac{1}{12}m l^2</math>
  • Moment setrvačnosti tyče délky \(l</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce
\(J = \frac{1}{3}m l^2</math>
  • Moment setrvačnosti koule o poloměru \(r</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose procházející středem koule.
\(J = \frac{2}{5}mr^2</math>
  • Moment setrvačnosti plného válce o poloměru \(r</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
\(J = \frac{1}{2}mr^2</math>
  • Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru \(r_1</math> a vnějším poloměru \(r_2</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
\(J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)</math>
  • Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru \(r</math> a hmotnosti \(m</math> vzhledem k ose otáčení.
\(J = mr^2</math>

Steinerova věta

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

\(J = J_0 + m r_T^2</math>,

kde \(J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, \(m</math> je hmotnost tělesa a \(r_T</math> je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy \(S</math> úhlovou rychlostí \(\mathbf{\omega}</math>, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

\(E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,

kde \(J_S</math> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose \(S</math>, \(v_i</math> je rychlost \(i</math>-tého hmotného bodu soustavy, a \(\mathbf{r}_i</math> je polohový vektor \(i</math>-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa \(S</math>.

Vektor \(\mathbf{\omega}</math>, který směřuje podél osy \(S</math> lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek \(\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> vzhledem k souřadnicovým osám \(x, y, z</math>. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

\(E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]</math>

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

\(2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i</math>

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

\(E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}</math>,

kde

\(J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i</math>
\(J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i</math>
\(J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i</math>

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám \(x, y, z</math> a

\(D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i</math>
\(D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i</math>
\(D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i</math>

jsou deviační momenty.


Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

\(J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m</math>
\(J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m</math>
\(J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m</math>

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

\(D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m</math>
\(D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m</math>
\(D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m</math>


Vektor \(\mathbf{\omega}</math>, který leží v ose \(S</math> je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. \(\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}</math>, kde \(\omega</math> je velikost vektoru \(\mathbf{\omega}</math>. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti \(J_S</math> vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami \(x, y, z</math> úhly \(\alpha, \beta, \gamma</math>

\(J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta</math>

Změní-li se směr osy \(S</math> vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti \(J_S</math>. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.


Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

\(\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}</math>,

kde symbol \(\otimes</math> představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme \(z=0</math>. Hmotnostní element \(\mathrm{d}m</math> je pak nahrazován plošným elementem \(\mathrm{d}S</math>.


Plošné momenty setrvačnosti k osám \(x, y</math> jsou tedy

\(J_x = \int_S y^2\mathrm{d}S</math>
\(J_y = \int_S x^2\mathrm{d}S</math>

Z deviačních momentů je nenulový pouze

\(D_{xy} = \int_S xy\mathrm{d}S</math>

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.


Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

\(J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
\(J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
\(J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m</math>

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám \(x, y, z</math> pak platí

\(J_x = J_{xy} + J_{zx}</math>
\(J_y = J_{xy} + J_{yz}</math>
\(J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou \(z</math>) je

\(J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\mathrm{d}S = \int_S r^2\mathrm{d}S</math>

Související články

Literatura

  • Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Externí odkazy

Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Moment_setrva%C4%8Dnosti“