V encyklopedii Allmultimedia.cz byl aktivován špičkový grafický skin Foreground.
Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !

Analytická geometrie

Z Multimediaexpo.cz

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Obsah

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic \(\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) bodů i vektorů. Velikost vektoru \((v_1, v_2,\ldots,v_n)\) je \(\sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}\) a skalární součin vektorů \((v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n\). Přímky jsou dány jako množiny \(\{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\}\) kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu \((x_0, y_0)\) (středu kružnice). Její rovnice je \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\).

Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0\)

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0 \)

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost \(m\) bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem \({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2\), pak mocnost bodu \([x^\prime,y^\prime]\) k této kružnici se určí jako

\(m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2\)

Pro \(m=0\) leží bod na kružnici, pro \(m>0\) leží bod vně kružnice a pro \(m<0\) uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů \(x,y\) splňujících rovnice

\(y = k_1 x+q_1\)
\(y = k_2 x+q_2\)

Podmínka rovnoběžnosti je \(k_1 = k_2\). Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice \(k_1, k_2\) splňují podmínku \(k_1 k_2+1=0\).

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

\(x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}\)

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

\(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad\).

a

\(a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad\)

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

\(A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}\)

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic \(r_1\), \(r_2\) a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

  • jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k1)
    • pokud zároveň \(r_1 = r_2\), pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
    • v ostatních případech (\(r_1 \ne r_2\)) nemají společný bod.
  • nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud \(0 < s < \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k2)
  • mají vnitřní dotyk, pokud \(s = \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k3)
  • se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud \(\left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2\) (viz kružnice k a k4)
  • mají vnější dotyk, pokud s = r1 + r2 (viz kružnice k a k5)
  • nemají společný bod (leží vně), pokud s > r1 + r2 (viz kružnice k a k6)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru \(r\).

  • \(s > r\): přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
  • \(s = r\): přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
  • \(s < r\): přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí \(y=kx+q\) a kružnici se středem v počátku a rovnicí \(x^2+y^2=r^2\), pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

\(\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]\)

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen \(D=r^2(1+k^2)-q^2\). Pro \(D>0\) protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro \(D=0\) mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro \(D<0\) přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny \(\rho, \sigma\) v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku \(p\), se nazývají různoběžné a značí \(\rho\nparallel\sigma\). Přímka \(p\) se nazývá průsečnice obou rovin \(\rho\) a \(\sigma\).

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi \(a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0\) a \(a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0\), pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Analytická geometrie
Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Analytick%C3%A1_geometrie“