Přímka
Z Multimediaexpo.cz
Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“). V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka představuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body. Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací. Speciální případ přímky je osa.
Obsah |
Značení
Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např. . Přímka procházející dvěma body
bývá také značena
.
Znázornění:
Soubor:Přímka.png
Algebraický zápis
Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí. Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval. V Eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru
kde a a b jsou vektory v Rn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.
Rovinná přímka
V R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.
Směrnicová rovnice přímky
Směrnicová rovnice přímky má tvar
,
kde je tzv. směrnice přímky, přičemž
je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a
je tzv. úsek (vyťatý přímkou) na ose
, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou
.
Pro
představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro
jde o funkci klesající. Pro
je přímka rovnoběžná s osou
. Je-li
, pak přímka prochází počátkem
.
Přímku rovnoběžnou s osou
nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.
Úseková rovnice přímky
Úseková rovnice přímky má tvar
,
kde je úsek (vyťatý přímkou) na ose
a
je úsek (vyťatý přímkou) na ose
.
Přímku rovnoběžnou s osou
nebo
nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.
Normálová rovnice přímky
Normálovou rovnici přímky lze zapsat va tvaru
,
kde představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic
od přímky a
je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v
vedená kolmo k přímce.
Členy
a
představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.
Obecná rovnice přímky
Obecná rovnice přímky má tvar
,
kde jsou konstanty, přičemž
nebo
.
Pro
je přímka rovnoběžná s osou
, pro
je přímka rovnoběžná s osou
. Pro
prochází přímka počátkem.
Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant
. Konstanty
určují vektor
, který je kolmý k přímce. Parametr
pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.
Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme
, pro
. Zavedeme-li
, pro
, pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru
Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, x-intercept a y-intercept. Excentricita přímky je nekonečno.
Parametrické rovnice přímky
Parametrické rovnice přímky v rovině lze vyjádřit vztahy
kde je libovolný bod přímky,
jsou konstanty určující směrnici přímky a
je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant
musí být nenulová.
Vektorová rovnice přímky
Vektorová rovnice přímky má tvar
kde je rádiusvektor procházející všemi body přímky,
je rádiusvektor jednoho z bodů přímky,
je vektor určující směr přímky a
je proměnný parametr.
Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.
Polární rovnice přímky
V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako
,
kde je vzdálenost přímky od počátku
a
je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.
Rovnice přímky určené bodem
Rovnice přímky se směrnicí procházející bodem
je
Rovnice přímky procházející dvěma danými body a
, kde
, má tvar
neboli
Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu
Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka
Prostorová přímka
Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.
Obecná rovnice přímky
V R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:
(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty až
, které zaručí, že roviny budou různoběžné).
Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic
Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k a
dostaneme
Parametrické rovnice přímky
Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar
kde je libovolný bod, kterým přímka prochází,
jsou konstanty určující směrnici přímky a
je parametr.
Konstanty
mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů
jako
Směrové úhly přitom splňují podmínku
Rovnice přímky určené bodem
Rovnici přímky procházející body lze zapsat jako
Rovnici přímky procházející bodem se směrovými úhly
lze zapsat jako
Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry , pak lze předchozí vztah přepsat jako
Přímka ve vícerozměrném prostoru
Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.
Parametrické vyjádření
Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem se směrovým vektorem
je množina bodů
, pro které existuje skalár k takový, že
Vektorový tvar
Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis
Vzájemná poloha bodu a přímky
Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.
Leží-li tři body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod mezi body
a
, pak bod
označíme jako vnitřní bod úsečky
.
Bod
ležící na přímce
ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod
vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení
. Opačnou polopřímku k polopřímce
značíme
.
Vzájemná poloha přímek
Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nikdy se neprotnout (nemají žádný společný bod), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.
Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).
Přímku různoběžnou s rovnoběžkami označujeme jako příčku rovnoběžek
.
Průnik dvou polopřímek
a
nazýváme úsečkou a značíme
.
Související články
- Základní geometrické útvary
- Lineární geometrické útvary
- Vzájemná poloha přímky a kružnice
- Výpočet průsečíku křivek
200 sociálních sítí a dalších služeb ! |
---|
![]() |
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |