Laminární proudění

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové. Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Soubor:Laminarni proudeni.png

Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění

Uvažujme v trubici o poloměru \(r</math> malý válec kapaliny o poloměru \(x</math> a délce \(\Delta l</math>. Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak \(p_1</math> a na výstupní průřez tlak \(p_2</math>. Tlakový rozdíl na délce \(\Delta l</math> má hodnotu \(\Delta p=p_1-p_2</math>. Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

\(F = \pi x^2\Delta p</math>

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

\(F_t = 2\pi x\Delta l\tau</math>,

kde \(\tau</math> je tečné napětí. Při ustáleném proudění musí být \(F</math> a \(F_t</math> v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

\(\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}</math>

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

\(v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k</math>,

kde \(k</math> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. \(v=0</math> pro \(x=r</math>. Po dosazení úpravě dostaneme

\(v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)</math>

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti \(v</math> na \(x</math> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok \(Q_v</math>. Rychlost \(v</math> je v určité vzdálenosti \(x</math> od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti \(x</math> a šířce \(\mathrm{d}x</math> proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

\(\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x</math>

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

\(Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}</math>

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu \(\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě \(\eta</math>.

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

\(v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2</math>

a nachází se na ose trubice (\(x=0</math>). Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice (\(S=\pi r^2</math>), tzn.

\(v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}</math>

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice. O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body \(A, B</math> na ose trubice ve vzdálenosti \(s</math> a dva body \(C, D</math> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že \(D</math> se nachází na stejném řezu trubicí jako \(A</math> a bod \(C</math> se nachází na stejném řezu jako \(B</math>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body \(A,D</math> a \(B,C</math> je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\(\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s</math>

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že \(\operatorname{rot}v</math> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé. Tlakový spád \(\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

\(F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s</math>

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní. Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

Externí odkazy

Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 7: / Řádka 7: @@
 ===Rychlostní profil===
 [[Soubor:Laminarni_proudeni.png|400px|right|thumb|Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění]]
-Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u <math>r</math> malý [[válec]] kapaliny o poloměru <math>x</math> a [[délka|délce]] <math>\Delta l</math>. Na vstupní průřez tohoto válce působí [[tlak]] <math>p_1</math> a na výstupní průřez tlak <math>p_2</math>. Tlakový rozdíl na délce <math>\Delta l</math> má hodnotu <math>\Delta p=p_1-p_2</math>. [[Tlaková síla]], která na válec působí ve směru toku, je
+Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u <big>\(r</math> malý [[válec]] kapaliny o poloměru <big>\(x</math> a [[délka|délce]] <big>\(\Delta l</math>. Na vstupní průřez tohoto válce působí [[tlak]] <big>\(p_1</math> a na výstupní průřez tlak <big>\(p_2</math>. Tlakový rozdíl na délce <big>\(\Delta l</math> má hodnotu <big>\(\Delta p=p_1-p_2</math>. [[Tlaková síla]], která na válec působí ve směru toku, je
-:<math>F = \pi x^2\Delta p</math>
+:<big>\(F = \pi x^2\Delta p</math>
 Tato síla odpovídá [[odpor prostředí|odporu kapaliny]] proti [[proudění]]. Tento odpor je způsoben [[vnitřní tření|vnitřním tření]] mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako
-:<math>F_t = 2\pi x\Delta l\tau</math>,
+:<big>\(F_t = 2\pi x\Delta l\tau</math>,
-kde <math>\tau</math> je [[tečné napětí]].
+kde <big>\(\tau</math> je [[tečné napětí]].
-Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být <math>F</math> a <math>F_t</math> v [[rovnováha sil|rovnováze]]. Z předchozích vztahů tedy dostaneme
+Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být <big>\(F</math> a <big>\(F_t</math> v [[rovnováha sil|rovnováze]]. Z předchozích vztahů tedy dostaneme
-:<math>\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}</math>
+:<big>\(\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}</math>
 Odtud po úpravě a [[Integrál|integraci]] dostaneme pro '''rychlostní profil''' (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz
-:<math>v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k</math>,
+:<big>\(v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k</math>,
-kde <math>k</math> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost [[nula|nulová]], tzn. <math>v=0</math> pro <math>x=r</math>. Po dosazení úpravě dostaneme
+kde <big>\(k</math> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost [[nula|nulová]], tzn. <big>\(v=0</math> pro <big>\(x=r</math>. Po dosazení úpravě dostaneme
-:<math>v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)</math>
+:<big>\(v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)</math>
-Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti <math>v</math> na <math>x</math> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) [[Parabola (matematika)|parabolická]].
+Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti <big>\(v</math> na <big>\(x</math> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) [[Parabola (matematika)|parabolická]].
 ===Hagen-Poiseuilleův zákon===
-Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] <math>Q_v</math>. Rychlost <math>v</math> je v určité vzdálenosti <math>x</math> od osy trubice [[konstanta|konstantní]]. [[obsah|Plochou]] [[mezikruží]] ve vzdálenosti <math>x</math> a [[šířka|šířce]] <math>\mathrm{d}x</math> proteče za [[čas|časovou]] jednotku kapalina o [[objem|objemu]]
+Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] <big>\(Q_v</math>. Rychlost <big>\(v</math> je v určité vzdálenosti <big>\(x</math> od osy trubice [[konstanta|konstantní]]. [[obsah|Plochou]] [[mezikruží]] ve vzdálenosti <big>\(x</math> a [[šířka|šířce]] <big>\(\mathrm{d}x</math> proteče za [[čas|časovou]] jednotku kapalina o [[objem|objemu]]
-:<math>\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x</math>
+:<big>\(\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x</math>
 [[Integrál|Integrací]] přes celý průřez trubice dostaneme
-:<math>Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}</math>
+:<big>\(Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}</math>
 Tento vztah je [[matematika|matematickým]] vyjádřením tzv. '''Hagen-Poiseuilleova zákona''', který zní:
-:'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu <math>\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> a čtvrté [[mocnina|mocnině]] [[poloměr|poloměru]] trubice a je [[nepřímá úměra|nepřímo úměrný]] [[dynamická viskozita|dynamické viskozitě]] <math>\eta</math>.'''
+:'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> a čtvrté [[mocnina|mocnině]] [[poloměr|poloměru]] trubice a je [[nepřímá úměra|nepřímo úměrný]] [[dynamická viskozita|dynamické viskozitě]] <big>\(\eta</math>.'''
 ===Maximální a průměrná rychlost proudění===
 Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu
-:<math>v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2</math>
+:<big>\(v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2</math>
-a nachází se na ose trubice (<math>x=0</math>).
+a nachází se na ose trubice (<big>\(x=0</math>).
-Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (<math>S=\pi r^2</math>), tzn.
+Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (<big>\(S=\pi r^2</math>), tzn.
-:<math>v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}</math>
+:<big>\(v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}</math>
 ==Vlastnosti==
 Laminární proudění je [[vírové proudění|vírové]], neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se [[rotace|otáčet]]. [[vírové vlákno|Vírová vlákna]] mají tvar soustředných [[kružnice|kružnic]], jejichž středy leží na ose trubice.
-O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body <math>A, B</math> na ose trubice ve vzdálenosti <math>s</math> a dva body <math>C, D</math> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že <math>D</math> se nachází na stejném [[rovinný řez|řezu]] trubicí jako <math>A</math> a bod <math>C</math> se nachází na stejném řezu jako <math>B</math>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je [[nula|nulová]] a mezi body <math>A,D</math> a <math>B,C</math> je vektor rychlosti [[kolmost|kolmý]] na dráhu, dostaneme
+O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body <big>\(A, B</math> na ose trubice ve vzdálenosti <big>\(s</math> a dva body <big>\(C, D</math> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že <big>\(D</math> se nachází na stejném [[rovinný řez|řezu]] trubicí jako <big>\(A</math> a bod <big>\(C</math> se nachází na stejném řezu jako <big>\(B</math>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je [[nula|nulová]] a mezi body <big>\(A,D</math> a <big>\(B,C</math> je vektor rychlosti [[kolmost|kolmý]] na dráhu, dostaneme
-:<math>\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s</math>
+:<big>\(\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s</math>
-Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že <math>\operatorname{rot}v</math> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je [[vířivé proudění|proudění vířivé]].
+Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že <big>\(\operatorname{rot}v</math> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je [[vířivé proudění|proudění vířivé]].
-Tlakový spád <math>\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> je mírou [[odpor prostředí|odporu]] kapaliny proti proudění, tzn.
+Tlakový spád <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> je mírou [[odpor prostředí|odporu]] kapaliny proti proudění, tzn.
-:<math>F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s</math>
+:<big>\(F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s</math>
 Při malé rychlosti proudění kapaliny se [[vír|víry]] nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých [[vírové vlákno|vírových vláken]] ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v [[turbulentní proudění|proudění turbulentní]].
 Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít [[Reynoldsovo číslo]].