Gaussův zákon elektrostatiky

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Obsah

1 Formulace zákona
2 Gaussův zákon v dielektriku
3 Počet siločar
4 Vlastnosti
5 Související články
6 Literatura

Formulace zákona

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:

Tok elektrické intenzity \(\Phi_E\) libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji \(Q\) nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua \(\varepsilon_0\).

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

\(\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}\)

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

\(\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu \(S\) libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu \(V\), které obsahuje celkový náboj \(Q\), který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Pokud se uvnitř plochy \(S\) nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu \(Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V\), což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

\(\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem \(V\), musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

\(\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}\)

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce \(\mathbf{D}\) v integrálním tvaru jako

\(\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q\)

nebo v diferenciálním tvaru jako

\(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho\)

V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.

Počet siločar

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:

Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj \(Q\), je roven podílu velikosti náboje \(Q\) uvnitř této plochy a permitivity vakua \(\varepsilon_0\), přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem

\(N = \Phi\),

kde \(N\) označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

\(N = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Vlastnosti

Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.

Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost

\(E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}\)

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.

Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články

Literatura

SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.] : [s.n.]. 650 s. ISBN 80-200-1004-1.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Formulace zákona ==
 Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:
-:''[[Tok elektrické intenzity]] <big>\(\Phi_E</math> libovolnou uzavřenou [[plocha|plochou]] ([[Gaussova plocha|Gaussovou plochou]]) je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[elektrický náboj|elektrickému náboji]] <big>\(Q</math> nacházejícímu se uvnitř této plochy. [[konstanta|Konstantou]] úměrnosti je převrácená hodnota [[Permitivita vakua|permitivity vakua]] <big>\(\varepsilon_0</math>.''
+:''[[Tok elektrické intenzity]] <big>\(\Phi_E\)</big> libovolnou uzavřenou [[plocha|plochou]] ([[Gaussova plocha|Gaussovou plochou]]) je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[elektrický náboj|elektrickému náboji]] <big>\(Q\)</big> nacházejícímu se uvnitř této plochy. [[konstanta|Konstantou]] úměrnosti je převrácená hodnota [[Permitivita vakua|permitivity vakua]] <big>\(\varepsilon_0\)</big>.''
 Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako
-:<big>\(\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}</math>
+:<big>\(\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}\)</big>
 Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah
-:<big>\(\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
+:<big>\(\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big>
 Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako ''Gaussův zákon elektrostatiky v [[integrál|integrálním]] tvaru''.
@@ Řádka 15: / Řádka 15: @@
 Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu [[bodový náboj|bodových nábojů]], ale také pro spojitě rozložené náboje.
-Pokud uvažujeme uzavřenou plochu <big>\(S</math> libovolného tvaru, která tvoří hranici [[těleso|tělesa]] o [[objem]]u <big>\(V</math>, které obsahuje celkový náboj <big>\(Q</math>, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah
+Pokud uvažujeme uzavřenou plochu <big>\(S\)</big> libovolného tvaru, která tvoří hranici [[těleso|tělesa]] o [[objem]]u <big>\(V\)</big>, které obsahuje celkový náboj <big>\(Q\)</big>, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah
-:<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
+:<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big>
-Pokud se uvnitř plochy <big>\(S</math> nachází pouze [[objemový náboj|objemově rozložené náboje]], lze celkový náboj určit ze vztahu <big>\(Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V</math>, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz
+Pokud se uvnitř plochy <big>\(S\)</big> nachází pouze [[objemový náboj|objemově rozložené náboje]], lze celkový náboj určit ze vztahu <big>\(Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V\)</big>, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz
-:<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
+:<big>\(\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)</big>
 Úpravou levé strany pomocí [[Gaussova věta|Gaussovy věty]] dostaneme
-:<big>\(\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V</math>
+:<big>\(\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V\)</big>
-Aby tato [[rovnice]] platila pro libovolně zvolený objem <big>\(V</math>, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.
+Aby tato [[rovnice]] platila pro libovolně zvolený objem <big>\(V\)</big>, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.
-:<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}</math>
+:<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}\)</big>
 Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k [[plocha|ploše]] nebo [[objem]]u, ale pouze k danému [[bod]]u [[Soustava souřadnic|prostoru]], a je označován jako ''Gaussův zákon elektrostatiky v [[diferenciální počet|diferenciálním]] tvaru''.
 == Gaussův zákon v dielektriku ==
-V [[dielektrikum|dielektriku]] se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí [[elektrická indukce|elektrické indukce]] <big>\(\mathbf{D}</math> v integrálním tvaru jako
+V [[dielektrikum|dielektriku]] se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí [[elektrická indukce|elektrické indukce]] <big>\(\mathbf{D}\)</big> v integrálním tvaru jako
-:<big>\(\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q</math>
+:<big>\(\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q\)</big>
 nebo v diferenciálním tvaru jako
-:<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho</math>
+:<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho\)</big>
 V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z [[Maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnic]].
@@ Řádka 36: / Řádka 36: @@
 == Počet siločar ==
 Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:
-:''Celkový počet [[siločára|siločar]] procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v [[elektrostatické pole|elektrostatickém poli]] uzavírá [[elektrický náboj]] <big>\(Q</math>, je roven podílu velikosti náboje <big>\(Q</math> uvnitř této plochy a [[permitivita|permitivity]] [[vakuum|vakua]] <big>\(\varepsilon_0</math>, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.''
+:''Celkový počet [[siločára|siločar]] procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v [[elektrostatické pole|elektrostatickém poli]] uzavírá [[elektrický náboj]] <big>\(Q\)</big>, je roven podílu velikosti náboje <big>\(Q\)</big> uvnitř této plochy a [[permitivita|permitivity]] [[vakuum|vakua]] <big>\(\varepsilon_0\)</big>, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.''
 Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem
-:<big>\(N = \Phi</math>,
+:<big>\(N = \Phi\)</big>,
-kde <big>\(N</math> označuje počet siločar.
+kde <big>\(N\)</big> označuje počet siločar.
 V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru
-:<big>\(N = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
+:<big>\(N = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)</big>
 == Vlastnosti ==
@@ Řádka 51: / Řádka 51: @@
 * Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné [[těleso]] s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
 * Jestliže má plocha [[Koule|kulový]] tvar [[poloměr]]u ''r'' a v jejím středu se nachází [[bodový náboj|bodový elektrický náboj]] ''Q'', pak [[intenzita elektrického pole]] v libovolném bodě na ploše má velikost
-:<big>\(E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}</math>
+:<big>\(E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}\)</big>
 Stejný vztah lze však získat také z [[Coulombův zákon|Coulombova zákona]]. Gaussův zákon elektrostatiky je ''ekvivalentní'' s Coulombovým zákonem.
 * Uvnitř nabitého [[Elektrický vodič|vodivého]] tělesa je ''[[nula|nulová]]'' [[elektrická intenzita]]. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. [[van de Graaffův generátor]].