Hyperbola

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek je o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek: Hyperbola (literatura).

Hyperbola jako kuželosečka.

Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce \(y=1/x\) v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

\(\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!\)

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek \(F_1\) a \(F_2\) konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Asymptoty hyperboly jsou znázorněny modrými přerušovanými čarami, které se protínají ve středu hyperboly (červené křivky), v bodě C. Dva ohniskové body se označují jako F₁ a F₂, černá přímka spojující vrcholy je příčná osa. Tenká černá kolmá přímka procházející středem je konjugovaná osa. Dvě silné černé čáry rovnoběžné s konjugovanou osou (tedy kolmé k příčné ose) jsou dvě přímky D₁ a D₂. Excentricita e (e>1) je podobná poměru vzdáleností (zeleně) od bodu P na hyperbole k jednomu z ohnisek a jeho odpovídající přímce. Oba vrcholy leží na příčné ose ve vzdálenosti ±a od středu.

Pokud \(a=b\), pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

• Hlavní osa \(o_1\) hyperboly rovnoběžná s osou \(x\)

Středová rovnice:

\({(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!\)

Obecná rovnice:

\(Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!\)

Rovnice asymptot:

\(y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!\)

Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]\):

\({(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!\)

• Hlavní osa \(o_1\) hyperboly rovnoběžná s osou \(y\)

Středová rovnice:

\({(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!\)

Obecná rovnice:

\(- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!\)

Rovnice asymptot:

\(y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!\)

Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]\):

\({(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!\)

• Asymptoty \(p_1, p_2\) rovnoběžné s osami \(x\) a \(y\)

Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x

Středová rovnice:

\((x - m)(y - n) = c \,\!\)

\(a = b = \sqrt{2|c|} \,\!\)

Obecná rovnice:

\(xy + Ax + By + C = 0 \,\!\)

Rovnice asymptot:

\(x = m, y = n \,\!\)

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

\(2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!\)

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

\(2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!\)

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

\(2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!\)

\(2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!\)

\({(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!\)

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa \(o_1\) je rovnoběžná s osou \(x\).
\(S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!\), \(a = \sqrt{2} \,\!\), \(b = 2 \,\!\), \(e = \sqrt{6} \,\!\), \(p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!\), \(p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!\)

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant \(D\) je:

• D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
• D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

\(r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!\)

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

\(r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!\)

Související články

• Geometrický útvar
• Křivka
• Parabola
• Elipsa
• Kružnice
• Mocninná křivka

Externí odkazy

• Vyčerpávající popis hyperboly (anglicky)