Moment hybnosti

Z Multimediaexpo.cz

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa. Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose. Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Obsah

Značení

  • Symbol veličiny: \(\mathbf{L}\) , někdy také b (vektor)
  • Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m2.s-1

Výpočet

Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).

Moment hybnosti \(\mathbf{L}\) je určen vektorovým součinem jako

\(\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}\),

kde \(\mathbf{r}\) je polohový vektor a \(\mathbf{p}\) je hybnost.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu \(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}\) pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

\(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\),

kde \(\mathbf{r}\) je polohový vektor, \(\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\) je rychlost, \(m\) je hmotnost tělesa (hmotného bodu) pohybujícího se po kruhové dráze, \(\mathbf{M}\) je moment síly a \(\mathbf{L}\) je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin \(\mathbf{v}\times m\mathbf{v}\) je roven nule (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz   \(\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)\)). Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu \(O\) je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí. V soustavě hmotných bodů platí pro \(i\)-tý hmotný bod podle vztah \(\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}\). Z vlastností momentu síly pak plyne

\(\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\),

kde \(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i\) představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí \(\mathbf{w}\) a momentem hybnosti jako

\(\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}\)

Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako \(\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\). Moment hybnosti soustavy \(n\) hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]\)

kde \(\mathbf{r}_i\) označuje polohu \(i\)-tého hmotného bodu s hmotností \(m_i\) vzhledem k těžišti a \(\mathbf{\omega}\) je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm. Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

\(\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]\)

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti \(\mathbf{\omega}\) vhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako \(\omega_x, \omega_y, \omega_z\) a složky průvodiče \(\mathbf{r}_i\) jako \(x_i, y_i, z_i\), můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření momentu setrvačnosti \(J\) pak lze získat

\(L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}\)
\(L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}\)
\(L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}\)

kde \(J_i\) jsou momenty setrvačnosti k \(i\)-té ose a \(D_{ij}\) jsou deviační momenty. Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

\(L_1 = J_1 \omega_1\)
\(L_2 = J_2 \omega_2\)
\(L_3 = J_3 \omega_3\)

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

\(\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}\)

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls \(\mathbf{b}\)

\(\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}\)

Pokud je silový moment \(\mathbf{M}\) po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

\(\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)\)

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu stejný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu hybnosti: tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Součet momentů hybnosti vnitřních sil

Součet momentů hybnosti vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože: 1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice) 2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: \(\mathbf{M}_i\) je moment hybnosti \(i\)-tého bodu. Mezi \(i\)-tým a \(j\)-tým bodem působí síla \(\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}\). Celkový moment hybnosti vnitřních sil je \(\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}\). Uvažujme nyní pouze interakci \(i\)-tého a \(j\)-tého bodu: \(\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}\), kde \(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\) je spojnice \(i\)-tého a \(j\)-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti. Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot. Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto: \(\mathbf{\hat{L}}=\mathbf{\hat{r}} \times {\hat{p}}\) Z komutačních relací pro souřadnici a impuls \([\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}\) lze odvodit komutační relace pro impulsmoment: \([\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n\) Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí: \(\mathbf{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle\) \(\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle\) Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Moment_hybnosti“